Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così che apparvero le "Récréations" dell'OZANAM, il "Traité des quarrés sublimes" di POIGNARD (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. EULERO. Nel 1838 ci fu l'opera di VIOLLE "Traité complet des carrés magiques pairs et impairs, simplex et composés, a bordures, compartiments, chassis, équerre, etc., suivi d'un traité des cubes magiques", in due volumi. Tra il 1866 ed il 1886 videro la luce diversi studi come quelli di A. H. FROST ed M. FROLOW, mentre nel 1894 E. MAILLET pubblicò le sue ricerche per una teoria generale dei quadrati magici fondata sulla teoria generale delle sostituzioni di "n" lettere e G. ARNOUX l'opera "Les espaces arithmétiques hypermagiques" (Parigi, 1894), in cui espose un metodo notevole per la costruzione dei quadrati magici d'ordine primo, poi esteso da A. MARGOSSIAN in "De l'ordonnance des nombres dans les carrés magiques impairs" (Parigi, 1908) al caso di ordine composto qualunque.
Famosi quadrati magici nella storia sono:
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quello di ordine 4 che si trova nel grottesco intitolato "MELENCOLIA", inciso da Albrecht DURER, nel 1514;
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quello di ordine 9 che si trova a Villa Albani a Roma, sul quale il suo autore ha posto il seguente testo:
LECTOR SI DOCTUS ADMIRATOR SI IGNARUS SCITO
QUADRATUS HIC MATHEMATICE CONSTRUCTUS
AB UNO USQUE AD OCTOGINTA UNUN 3321 UNITATES
INCLUDIT QUAELIBET IPSIUS COLUMNAE TAM IN LINEA
PLANA QUAM IN RECTA ET TRASVERSALI UNITATES
369 QUAE DUCTAE PER NOVEM CASDEM 3321 UNITATES
RESTITUUNT ET APPELLATUR MAXIMUS QUIA MAXIMAM
POSSIDET EXTENSIONEM VALE
CAETANUS GILARDONUS ROMANUS PHILOTECNOS
INVENTOR A. D. MDCCLXVI -
quello di ordine 8, costruito nel 1769, da Benjamin FRANKLIN.
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Il numero dei quadrati magici diversi che si possono costruire non è stato ancora definito per un ordine maggiore a 4, del quale, invece, è noto che ci sono 880 quadrati di base (senza, cioè, contarvi quelli che possono essere ottenuti con riflessioni e rotazioni); per quelli di ordine 5 è stato, di recente, calcolato un limite inferiore pari a 275.305.224 quadrati di base (Richard SCHROEPPEL, 1973).
Da ciò consegue che il numero dei quadrati di base di ordine 8 è necessariamente elevatissimo in quanto si è già riscontrato come tale numero cresca in misura esponenziale passando da un ordine all'altro.
In figura a fianco, il più noto quadrato magico di ordine 8, collegato al pianeta Mercurio, che si trova descritto nel libro di Cornelio Agrippa.
Bibliografia e Collegamenti
- L. Berzolari, "Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi", vol. 3, parte 2^.
- M. Cipolla, "Matematica ricreativa", cap. LVII, punto IV, Edizioni HOEPLI, Milano 1971.
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